A Mudança Central: Das Somas aos Integrais
Uma variável aleatória $X$ é contínua se existir uma função não negativa $f$, chamada de função de densidade de probabilidade (PDF) de $X$, tal que para qualquer conjunto de números reais $B$:
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
Crucialmente, isso implica que para qualquer valor específico $a$, $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$. No domínio contínuo, falamos apenas de probabilidades em intervalos.
A Símbiose entre PDF e CDF
A Função de Distribuição Acumulada (CDF) $F(x)$ atua como o acumulador de probabilidade desde menos infinito até $x$:
$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
Medidas de Tendência Central
- Valor Esperado: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- Mediana ($m$): O ponto que divide a área ao meio, onde $F(m) = \frac{1}{2}$.
- Moda: O valor de $x$ para o qual $f(x)$ alcança seu máximo.
Os Limites da Soma
Para apreciar os "Integrais" em nossa jornada, contraste o mundo discreto — onde poderíamos encontrar o teorema de Legendre ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$) ou lógica complexa para divisores (onde para $D=k$, $k$ deve dividir tanto $X$ quanto $Y$ e $X/k$, $Y/k$ devem ser primos entre si) — com o mundo contínuo. Aqui, calculamos a variância como $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ e expectativas de funções por meio de $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$.